<aside> 📌 다수의 입자를 주어진 입자 분포로 초기화 하기
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<aside> <img src="/icons/paste_gray.svg" alt="/icons/paste_gray.svg" width="40px" /> 입자 분포의 초기화 방법에 대해 알아본다.
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⚠️ 모르는 단어나 개념은 Googling이나 ChatGPT로 꼭 알아봅시다!!!
입자의 초기 조건은 모사하고자 하는 상황에 따라 달라질 수 있으며 주로 Ideal한 상황을 가정하고 시작을 하는 경우가 많다. 그 이유는 앞선 단원에서 언급되었듯이, 실제 실험에서 수많은 입자들의 초기 위치와 초기 속도를 특정 시간 snapshot에서 알아내는 것이 불가능하다. 예를 들면 Beam의 경우 이상적(ideal)인 상황에서 하나의 속도만을 가지는 입자들의 분포를 가정하므로 모든 입자들에 같은 속도 성분을 부여하게 된다. 이는 수학적으로 delta function으로 표현될 수 있겠다. 또한 Two stream instability를 모사하기 위해 같은 입자종(species) 또는 서로 다른 입자 종들 사이에 서로 다른 속도의 Beam 분포를 가지게 초기 조건을 디자인하기도 한다. 이외에도 Plasma가 입자 충돌이 많이 일어나는 온도와 밀도를 가지고 있을 경우, Local equilibrium을 가정할 수 있고, 이러한 상황에서 Maxwellian probability distribution function을 가정하는 경우가 많다. 이러한 초기 조건의 입자들의 속도 분포나 공간상의 위치 분포에 대해 수학적으로 기술하는 함수를 Probability Distribution Function (PDF)라 부르고 이러한 PDF가 시간에 대해서 어떻게 변화하는지를 계산하고 그 물리를 탐구하는 학문이 바로 kinetic theory이다. 때로는 아무런 물리적인 justification 없이 Maxwellian을 초기 조건으로 사용하는 경우가 매우 많다.
아래는 다양한 경우에 대해 입자 초기화법을 설명하겠다.
입자의 위치와 속도를 결정하는 것은 다른 의미로는 실공간 (Configuration space 또는 Real space) 또는 속도 공간 (Velocity space)에 하나의 point를 위치시키는 것과 같다. 입자를 균일하게 특정 영역에 분포시키는 것을 목적으로 하는데 그러한 분포 영역이 간단한 경우, 예를 들면 1차원에서 선분 위, 2차원에서 사각형, 3차원에서 육면체, 마지막으로 periodic boundary condition이 적용되어 한 쪽 끝이 다른 쪽 끝과 연결되었다고 가정하는 경우 간단한 uniform random 함수를 사용하면 손쉽게 입자를 균일하게 분포시킬 수 있겠다.
예를 들어 x=[-10, 10]의 domain에 균일하게 입자들을 분포시켜야 한다고 가정을 해보자. Uniform random 함수의 return 값이 일반적으로 [0, 1] 이므로 (같은 Uniform random function이라고 하더라도 option에서 반드시 Return 값에 대해 확인해보고 사용해야 한다.), Uniform random함수의 return 값에 20을 곱한 후 -10을 처리해주면 원하는 [-10, 10]에서의 균일한 분포를 가지게 된다. 즉, [0, 1] → [0,1] x 20 = [0, 20] → [0, 20] - 10 = [-10, 10] 으로 range가 변형될 수 있다.
여기서 Random 함수와 관련하여 몇 가지 알아야 할 사항이 있다. 첫번째로 Pseudo-random 이란 의미를 알아볼 필요가 있다. 가령 지금과 같이 간단한 uniform random 함수의 경우 꼭 이미 만들어진 library의 힘을 빌리지 않더라도 직접 만들 수 있다. 예를 들면 [0, 1]에 입자 3개를 균일하게 분포시키는 방법은 무엇일까? 직관적으로 알수 있다시피 , x=0, x= 1/2, x=1 일 것이다. 그렇다면 입자 4개는 어떨까? x=0, x=1/3, x=2/3, x=1 이겠다. 일반적으로 N 개의 입자가 있다면, 닫힌 구간에서 Boundary를 포함하여 입자를 균일하게 분포시킬 경우, i 번째 입자의 위치는 아래와 같이 나타낼 수 있겠다.
$$ x_i = \frac{i}{N-1} $$