$$ \begin{equation} \rho_s^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} \delta \phi(x) - \left( 1 + k_y^2 \rho_s^2 - \frac{\omega_{*e}}{\omega} - \frac{k_y^2 c_s^2}{\omega^2} \frac{x^2}{L_s^2} \right) \delta \phi(x) = 0 \end{equation} $$
위 식은 짚고 넘어갈 여러 의미를 담고 있다. (To be illustrated later… because it’s somewhat out of scope of this document)
첫번째 항을 살펴보면 $\delta \phi$ 에 대한 미분이 $\rho_s$로 scaling할 경우 식이 간소화될 수 있음을 알 수 있다. 물론 식 전반에 $\rho_s^2$로 나눠주는 것도 방법이겠으나 추후 값들의 검증시 normalization은 유용하게 사용될 수 있을 뿐만 아니라 Gyro-radius scale의 fluctuation을 기대하고 있으므로 $\rho_s$로 normalize해주는 것이 여러모로 이득이 있다.
같은 이유로 시간에 대해서도 $\omega_{*e} = k_y \rho_s \frac{c_s}{L_n}$ 로 normalization을 해주는 것이 유용하겠다. 이러한 시공간에 대한 normalization로 아래와 같은 결과를 도출할 수 있다.
$$ \begin{equation} \frac{\partial^2}{\partial X^2} \delta \phi (X) - \left( 1+K_y^2 - \frac{1}{\Omega} - \frac{L_n^2}{L_s^2} \frac{X^2}{\Omega^2} \right) \delta \phi (X) = 0 \end{equation} $$
Notation은 아래와 같다.
$$ X := \frac{x}{\rho_s} \\ \Omega := \frac{\omega}{\omega_{*e}} \\ K := k_y \rho_s $$
다차 상미분 방정식(High order Ordinary Differential Equation)은 여러 개의 1차 상미분 방정식으로 언제나 바뀔 수 있음을 알고 있어야 한다. 또한 1차 상미분 방정식에 대해서는 많은 수학적 증명들과 수치적 도구들이 뒷받침되고 있기 때문에 고차 상미분 방정식 보다는 다수의 1차 상미분 방정식을 다루는 것이 실질적으로 문제를 풀어내는 것에 있어 유리하다.
$$ \frac{\partial}{\partial X} \delta\phi = Y \\ \frac{\partial}{\partial X} Y = \left( 1+K_y^2 - \frac{1}{\Omega} - \frac{L_n^2}{L_s^2} \frac{X^2}{\Omega^2} \right) \delta \phi $$