이번 Chapter에서는 이후에 나올 Chapter들에서의 설명에 대한 이해를 돕기 위해 Eigenvalue, Eigenfunction, Eigenvector, Eigenmode에 대해 대략적으로 알아보기로 한다. 엄밀한 수학적 정의를 알고 싶다면 아래에 소개한 참고 문헌들을 포함한 관련 참고 문헌들을 찾아보길 바란다.

의미

Eigen- 의 한국어 번역은 고유로 통용되고 있으며 Eigenvalue(고유값), Eigenfunction(고유함수), Eigenvector(고유벡터) 등으로 사용되고 있다. 고유하다는 의미가 대략적으로 다루고자 하는 대상의 특성 정도로 생각해볼 수 있겠다. 물리를 공부하는 우리는 특정 대상을 예측하기를 원하고, 대상의 거동을 예측하기 위해 모델링을 통해 Governing equation을 결정하며, 이러한 Governing equation이 주로 Differential equation으로 쓰이다보니 Differential equation이 고유하게 가지는 Eigenfunction이나 Eigenvector 등의 수학적 특성을 살펴보는 것은 결국 우리가 살펴볼 대상의 물리적 특성을 알아보는 것이라 할 수 있겠다.

Linear Algebra(선형대수학)에서 이야기하는 Eigenvector는 다음과 같다.

$$ \textrm{A} \bm{x} =\lambda \bm{x} $$

여기서 $\textrm{A}$는 정사각(N by N) matrix(행렬), $\bm{x}$는 column vector이며, 위 식을 만족하는 $\lambda$가 바로 scalar값인 Eigenvalue 이며 해당 $\lambda$와 짝이 되는 위 식을 만족하는 $\bm{x}$가 Eigenvector이겠다. 위 식과 관련하여는 여러 해석이 있을 수 있겠지만, 여기서는 $\textrm{A}$를 operator 관점으로 보려고 한다. $\bm{x}$라는 vector가 있는데 그 $\bm{x}$에 Matrix를 곱하여 다른 vector로 변형을 가져 온다. 우리가 익히 알고 있는 2+3은 2라는 숫자가 존재하는데 3을 더하는 operation을 취한다. 여기서 다루는 Matrix-vector product는 그러한 Algebraic equation의 해석과 달리 Operator가 앞에 있는 것이 다른 점이겠다. $\bm{x}$는 무엇일까? $\bm{x}$를 구성하는 여러 scalar들은 다루고자 하는 대상의 상태 (state)를 나타낸다고 볼 수 있다. 시공간이나 phase space 좌표계의 좌표값이 가장 대표적인 예이다.

재미있는 점은 matrix로 표현되는 operator $\textrm{A}$가 숫자인 $\lambda$로 표현될 수 있다는 것이다. 그 짝인 $\bm{x}$와 함께라면 말이다.

참고 문헌